TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 386

Man bestimme die relativen Extrema der Funktion $f(x,y)=4(x-2)(y^2+10y)+3x^3$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

$f_x=4(y^2+10y)+9x^2$

$f_{xx}=18x$

$f_{xy}=4(2y+10)=8(y+5)$

$f_y=4(x-2)(2y+10)=8(x-2)(y+5)$

$f_{yx}=8(y+5)$

$f_{yy}=8(x-2)$

$H_f=\left(\begin{array}{cc}18x& 8(y+5)\\ 8(y+5)& 8(x-2)\end{array}\right)$

$det{H}_f=18x\cdot 8(x-2)-{(8y+40)}^2=144x^2-288x-64y^2-640y-1600$

Aus $f_y=8(x-2)(y+5)=0$ folgen $x=2$ und $y=-5$.

Einsetzen von $x=2$ in $f_x$:

$\begin{array}{cc}4(y^2+10y)+9\cdot 2^2& =0\\ 4y^2+40y+36& =0\\ y^2+10y+9& =0\end{array}$

Per Lösungsformel $y_{1,2}=-\frac{10}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{10}{2}\right)}^2-9}=-5\pm 4$ bekommt man $y_1=-1$ und $y_2=-9$.

Einsetzen von $y=-5$ in $f_x$:

$\begin{array}{cc}4((-5{)}^2+10(-5))+9x^2& =0\\ 4(25-50)+9x^2& =0\\ 9x^2& =100& =\sqrt{\frac{100}{9}}=\pm \frac{10}{3}\end{array}$

Die möglichen Lösungen sind daher $P_1(2,-9)$, $P_2(2,-1)$, $P_3(\frac{10}{3},-5)$ und $P_4(-\frac{10}{3},-5)$.

$f_{xx}(2,-9)=36>0$

$det{H}_f(2,-9)=-1024<0$

$P_1(2,-9)$ ist daher ein Sattelpunkt von $f$.

$f_{xx}(2,-1)=36>0$

$det{H}_f(2,-1)=-1024<0$

$P_2(2,-1)$ ist daher ein Sattelpunkt von $f$.

$f_{xx}(\frac{10}{3},-5)=60>0$

$det{H}_f(\frac{10}{3},-5)=640>0$

$P_3(\frac{10}{3},-5)$ ist daher ein Minimum von $f$.

$f_{xx}(-\frac{10}{3},-5)=-60<0$

$det{H}_f(-\frac{10}{3},-5)=2560>0$

$P_4(-\frac{10}{3},-5)$ ist daher ein Maximum von $f$.

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 17:33, 9. Mai 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 17:33, 9. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 53 / Beispiel 115

Links

• Thread aus SS10
• Aktueller Thread --Markus Nemetz 17:33, 9. Mai 2006 (CEST)
• UE Runde 7 (11.05.06), Gruppe 12, Allg. Tipps --Markus Nemetz 17:33, 9. Mai 2006 (CEST)