TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 110

Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

$\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

---

Hilfe:

$\cos x={\dfrac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

$\sin x={\dfrac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

---

${\dfrac {e^{i(u-v)}+e^{-i(u-v)}}{2}}={\dfrac {(e^{iu}+e^{-iu})(e^{iv}+e^{-iv})}{4}}+{\dfrac {(e^{iu}-e^{-iu})(e^{iv}-e^{-iv})}{-4}}$

${\dfrac {2(e^{i(u-v)}+e^{-i(u-v)})}{4}}={\dfrac {e^{iu+iv}+e^{iu-iv}+e^{iv-iu}+e^{-iv-iu}-e^{iu+iv}+e^{iu-iv}+e^{iv-iu}-e^{-iv-iu}}{4}}$

$2e^{iu-iv}+2e^{iv-iu}=2e^{iu-iv}+2e^{iv-iu}$

Alternativer Lösungsvorschlag

Euler Formel: $e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)$ bzw. $e^{-ix}=\cos(x)-i\cdot \sin(x)$

$e^{i(u-v)}=e^{iu}\cdot e^{-iv}$

$\cos(u-v)+i\cdot \sin(u-v)=(\cos(u)+i\cdot \sin(u))\cdot (\cos(v)-i\cdot \sin(v))$

$\cos(u-v)+i\cdot \sin(u-v)=\cos(u)\cdot \cos(v)+\sin(u)\cdot \sin(v)+i\cdot (-\cos(u)\cdot \sin(v)+\cos(v)\cdot \sin(u))$

$Re:\cos(u-v)=\cos(u)\cdot \cos(v)+\sin(u)\cdot \sin(v)\square$

$Im:\sin(u-v)=\cos(v)\cdot \sin(u)-\cos(u)\cdot \sin(v)$

Alternativer Lösungsvorschlag 2

Die Eulerschen Formeln besagen:

• $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$
• $e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)$
• $\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

Daher gilt:

$\cos(u-v)={\frac {e^{i(u-v)}+e^{-i(u-v)}}{2}}$

Wir zeigen nun, dass dies gleich $\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)$ ist:

$e^{iu}e^{-iv}=(\cos(u)+i\sin(u))(\cos(v)-i\sin(v))=\cos(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v)i+\cos(v)\sin(u)i-i^{2}\sin(u)\sin(v)=\cos(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v)i+\cos(v)\sin(u)i+\sin(u)\sin(v)$

$e^{-iu}e^{iv}=(\cos(u)-i\sin(u))(\cos(v)+i\sin(v))=\cos(u)\cos(v)+i\sin(v)\cos(u)-i\sin(u)\cos(v)-i^{2}\sin(u)\sin(v)=\cos(u)\cos(v)+i\sin(v)\cos(u)-i\sin(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)$

Diese zwei Zwischenergebnisse addieren wir nun und dividieren durch $2$:

${\frac {(\cos(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v)i+\cos(v)\sin(u)i+\sin(u)\sin(v))+(\cos(u)\cos(v)+i\sin(v)\cos(u)-i\sin(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v))}{2}}=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)$