TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 110

Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

$\cos (u-v)=\cos (u)\cos (v)+\sin (u)\sin (v)$

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Hilfe:

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

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$\frac{e^{i(u-v)}+e^{-i(u-v)}}{2}=\frac{(e^{iu}+e^{-iu})(e^{iv}+e^{-iv})}{4}+\frac{(e^{iu}-e^{-iu})(e^{iv}-e^{-iv})}{-4}$

$\frac{2(e^{i(u-v)}+e^{-i(u-v)})}{4}=\frac{e^{iu+iv}+e^{iu-iv}+e^{iv-iu}+e^{-iv-iu}-e^{iu+iv}+e^{iu-iv}+e^{iv-iu}-e^{-iv-iu}}{4}$

$2e^{iu-iv}+2e^{iv-iu}=2e^{iu-iv}+2e^{iv-iu}$

Alternativer Lösungsvorschlag

Euler Formel: $e^{ix}=\cos (x)+i\cdot \sin (x)$ bzw. $e^{-ix}=\cos (x)-i\cdot \sin (x)$

$e^{i(u-v)}=e^{iu}\cdot e^{-iv}$

$\cos (u-v)+i\cdot \sin (u-v)=(\cos (u)+i\cdot \sin (u))\cdot (\cos (v)-i\cdot \sin (v))$

$\cos (u-v)+i\cdot \sin (u-v)=\cos (u)\cdot \cos (v)+\sin (u)\cdot \sin (v)+i\cdot (-\cos (u)\cdot \sin (v)+\cos (v)\cdot \sin (u))$

$Re:\cos (u-v)=\cos (u)\cdot \cos (v)+\sin (u)\cdot \sin (v)◻$

$Im:\sin (u-v)=\cos (v)\cdot \sin (u)-\cos (u)\cdot \sin (v)$

Alternativer Lösungsvorschlag 2

Die Eulerschen Formeln besagen:

• $e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$
• $e^{-ix}=\cos (x)-i\sin (x)$
• $\cos (x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

Daher gilt:

$\cos (u-v)=\frac{e^{i(u-v)}+e^{-i(u-v)}}{2}$

Wir zeigen nun, dass dies gleich $\cos (u)\cos (v)+\sin (u)\sin (v)$ ist:

$e^{iu}{e}^{-iv}=(\cos (u)+i\sin (u))(\cos (v)-i\sin (v))=\cos (u)\cos (v)-\cos (u)\sin (v)i+\cos (v)\sin (u)i-i^2\sin (u)\sin (v)=\cos (u)\cos (v)-\cos (u)\sin (v)i+\cos (v)\sin (u)i+\sin (u)\sin (v)$

$e^{-iu}{e}^{iv}=(\cos (u)-i\sin (u))(\cos (v)+i\sin (v))=\cos (u)\cos (v)+i\sin (v)\cos (u)-i\sin (u)\cos (v)-i^2\sin (u)\sin (v)=\cos (u)\cos (v)+i\sin (v)\cos (u)-i\sin (u)\cos (v)+\sin (u)\sin (v)$

Diese zwei Zwischenergebnisse addieren wir nun und dividieren durch $2$:

$\frac{(\cos (u)\cos (v)-\cos (u)\sin (v)i+\cos (v)\sin (u)i+\sin (u)\sin (v))+(\cos (u)\cos (v)+i\sin (v)\cos (u)-i\sin (u)\cos (v)+\sin (u)\sin (v))}{2}=\cos (u)\cos (v)+\sin (u)\sin (v)$