TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 121

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

$g(x)=(1+{\sqrt {x}})^{7}$

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Hilfreiches

Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion

Sei $I=[a,b]$ ein Intervall und $f\colon I\to \mathbb {R}$ eine streng monotone und stetige Funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion $f^{-1}\colon f(I)\to I$ und ist ebenfalls stetig. (Satz 4.91)

Satz 4.92:

Seien f(x) und g(x) stetige Funktionen. Dann sind die folgenden Funktionen - auf geeigneten Definitionsbereichen - ebenfalls stetig: $f(x)\pm g(x)$

$f(x)g(x)$

${\frac {f(x)}{g(x)}}$ (falls g(x)$\neq$0)

$f(g(x))$

Stetigkeit

Aus Satz 4.92 folgt, dass g(x) stetig ist.

Monotonie

Annahme streng monoton wachsend:

$a_{n}<a_{n+1}$

$(1+{\sqrt {x}})^{7}<(1+{\sqrt {y}})^{7}$

${\sqrt {x}}<{\sqrt {y}}$

$x<y$

--> g(x) ist streng monoton steigend

Umkehrfunktion

g(x) ist streng monoton und stetig ---> besitzt eine Umkehrfunktion. $y=(1+{\sqrt {x}})^{7}$

${\sqrt[{7}]{y}}=(1+{\sqrt {x}})$

${\sqrt[{7}]{y}}-1={\sqrt {x}}$

$({\sqrt[{7}]{y}}-1)^{2}=x$

Die Umkehrfunktion ist also

$g^{-1}(x)=({\sqrt[{7}]{x}}-1)^{2}$

--Slaybert (Diskussion) 11:51, 27. Apr. 2013 (CEST)