TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 162

Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$. Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?

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}}

oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Lösungsvorschlag

$f(x)=\frac{x+1}{x-1}$

$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1{)}^2}=-2\cdot (x-1{)}^{-2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$

$f^{″}(x)=-2\cdot -2(x-1{)}^{-3}\cdot 1=4(x-1{)}^{-3}=\frac{4}{(x-1{)}^3}$

$f^{‴}(x)=-3\cdot 4(x-1{)}^{-4}\cdot 1=-12(x-1{)}^{-4}=\frac{-12}{(x-1{)}^4}$

$f^{⁗}(x)=-4\cdot -12(x-1{)}^{-5}\cdot 1=48(x-1{)}^{-5}=\frac{48}{(x-1{)}^5}$

$f^{(n)}(x)=\frac{(-1{)}^n\cdot 2\cdot n!}{(x-1{)}^{n+1}}$

Anmerkung:

• Anwendung der Quotientenregel (und anschließend der Kettenregel)