TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 162

Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion $f(x)={\frac {x+1}{x-1}}$. Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

$f(x)={\frac {x+1}{x-1}}$

$f'(x)={\frac {1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}}=-2\cdot (x-1)^{-2}={\frac {-2}{(x-1)^{2}}}$

$f''(x)=-2\cdot -2(x-1)^{-3}\cdot 1=4(x-1)^{-3}={\frac {4}{(x-1)^{3}}}$

$f'''(x)=-3\cdot 4(x-1)^{-4}\cdot 1=-12(x-1)^{-4}={\frac {-12}{(x-1)^{4}}}$

$f''''(x)=-4\cdot -12(x-1)^{-5}\cdot 1=48(x-1)^{-5}={\frac {48}{(x-1)^{5}}}$

$f^{(n)}(x)={\frac {(-1)^{n}\cdot 2\cdot n!}{(x-1)^{n+1}}}$

Anmerkung:

• Anwendung der Quotientenregel (und anschließend der Kettenregel)