TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 206

Man bestimme den Grenzwert

${\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0^{+}}x^{x}\end{aligned}}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag

Direktes Einsetzen in den Ausdruck liefert '$0^{0}$'. Wir formen den Ausdruck also zunächst um.
${\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}(e^{\ln(x)})^{x}=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}e^{\ln(x)x}\end{aligned}}$
Betrachten wir den Exponenten so erhalten wir zunächst einen unbestimmten Ausdruck. Hier fließt ein, dass gilt $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}\ln(x)=-\infty$.
${\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0^{+}}\ln(x)x=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}={\frac {-\infty }{\infty }}\end{aligned}}$
Wir wenden also die Regel von L'Hospital an und betrachten die Ableitungen des Nenners und Zählers, also
${\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0^{+}}{\frac {(\ln x)'}{({\frac {1}{x}})'}}={\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}-{\frac {x}{1}}=0\end{aligned}}$
Wir wissen nun, dass der Exponent von $e^{\ln(x)x}$ gegen 0 konvergiert. Deswegen konvergiert der ganze Ausdruck gegen 1, was wiederum der Grenzwert von $x^{x}$ ist.