TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 206

Man bestimme den Grenzwert

$\begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^x\end{array}$

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Lösungsvorschlag

Direktes Einsetzen in den Ausdruck liefert '$0^0$'. Wir formen den Ausdruck also zunächst um.
$\begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^x=\underset{x\to 0^{+}}{lim}(e^{\ln (x)}{)}^x=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{\ln (x)x}\end{array}$
Betrachten wir den Exponenten so erhalten wir zunächst einen unbestimmten Ausdruck. Hier fließt ein, dass gilt $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln (x)=-\mathrm{\infty }$.
$\begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln (x)x=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\frac{-\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\end{array}$
Wir wenden also die Regel von L'Hospital an und betrachten die Ableitungen des Nenners und Zählers, also
$\begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{(\ln x{)}^{\prime }}{(\frac{1}{x}{)}^{\prime }}=\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}-\frac{x}{1}=0\end{array}$
Wir wissen nun, dass der Exponent von $e^{\ln (x)x}$ gegen 0 konvergiert. Deswegen konvergiert der ganze Ausdruck gegen 1, was wiederum der Grenzwert von $x^x$ ist.