TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 229

Man berechne $\int x\cdot \arcsin xdx$

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Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Partielle_Integration

Partielle Integration

$\int udv=uv-\int vdu$ alias $\int u(x)v^{\prime }(x)=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)$

Lösung von Mhaslhofer 17:04, 18. Okt. 2009 (CEST)

Folgende Formeln sind zum Lösen notwendig (Die Herleitung ist weiter unten beschrieben)

$\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+c$

$\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x)+c$

Durch Anwendung der partiellen Integration bekommt man:

$\int x\arcsin xdx=x(x\arcsin x+\sqrt{1-x^2})-\int x\arcsin xdx-\int \sqrt{1-x^2}dx$

(nicht ganz) überraschender Weise findet sich das gesuchte Integral auch auf der rechten Seite der Gleichung - wir bringen den Term einfach nach links (und lösen das andere Integral auf):

$2\cdot \int x\arcsin xdx=x(x\arcsin x+\sqrt{1-x^2})-\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x)$

Jetzt einfach nur noch umformen:

$\int x\arcsin xdx=\frac{1}{2}(x^2\arcsin x+x\sqrt{1-x^2}-\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}-\frac{\arcsin x}{2})$

$\int x\arcsin xdx=\frac{1}{4}(2x^2\arcsin x+x\sqrt{1-x^2}-\arcsin x)+c$

Nebenrechnung 1

Die erste Nebenrechnung zeigt: $\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+c$

$\int \arcsin xdx$

Wir substituieren:

$x=\sin t$

$dx=\cos tdt$

und lösen daher:

$\int \arcsin (\sin t)\cos tdt=\int t\cos tdt$

durch partielle Integration erhalten wir:

$\int t\cos tdt=t\sin t-\int \sin tdt=t\sin t+\cos t$

Wenn wir jetzt resubstituieren kommen wir auf:

$\int \arcsin xdx=\arcsin x\cdot x+\cos (\arcsin x)$

Der Ausdruck: $\cos (\arcsin x)$ ist unschön - wir können ihn durch:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\iff \cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$

$\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin x)}=\sqrt{1-x^2}$ ersetzen.

Und den Term in die Lösung einsetzen:

$\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+c$

Nebenrechnung 2

Die zweite Nebenrechnung zeigt:$\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x)+c$

$\int \sqrt{1-x^2}dx$

Wir substituieren:

$x=\sin t$

$dx=\cos tdt$

und erhalten so:

$\int \sqrt{1-x^2}dx=\int \sqrt{1-{\sin }^{2}t}\cdot \cos tdt$

Da aus:

${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1\iff \sqrt{1-{\sin }^{2}t}=\cos t$

folgt, können wir umformen auf:

$\int \sqrt{1-{\sin }^{2}t}\cdot \cos tdt=\int \cos t\cdot \cos tdt$

Durch Anwendung der partiellen Integration erhalten wir:

$\int \cos t\cdot \cos tdt=\cos t\cdot \sin t-\int -\sin t\cdot \sin tdt=\cos t\cdot \sin t+\int {\sin }^{2}tdt=\cos t\cdot \sin t+\int 1-{\cos }^{2}tdt$

und daher:

$\int \cos t\cdot \cos tdt=\cos t\cdot \sin t+\int 1dt-\int {\cos }^{2}tdt$

$2\cdot \int {\cos }^{2}tdt=\cos t\cdot \sin t+t$

$\int {\cos }^{2}tdt=\frac{1}{2}(\cos t\cdot \sin t+t)$

Wir resubstituieren:

$\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{2}(\cos (\arcsin x)\cdot x+\arcsin x)$

Wie in #Nebenrechnung 1 können wir:

$\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin x)}=\sqrt{1-x^2}$ ersetzen.

und kommen so auf:

$\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x)+c$