TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 242

Man berechne:

$\int {\frac {(x-3)^{2}}{x^{-7/2}}}\cdot dx$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung

$=\int {\frac {(x-3)^{2}}{\frac {1}{x^{7/2}}}}\cdot dx=\int (x-3)^{2}\cdot x^{7/2}dx=\int (x^{2}-6x+9)\cdot x^{7/2}dx$

$=\int (x^{4/2}-6x^{2/2}+9)\cdot x^{7/2}dx=\int x^{11/2}-6x^{9/2}+9x^{7/2}dx$

$=\int x^{11/2}dx-6\int x^{9/2}dx+9\int x^{7/2}dx\rightarrow \left(\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\right)$

man darf das Integral aufteilen weil $\rightarrow$ linear

$={\frac {x^{\frac {13}{2}}}{\frac {13}{2}}}-6\cdot {\frac {x^{\frac {11}{2}}}{\frac {11}{2}}}+9\cdot {\frac {x^{\frac {9}{2}}}{\frac {9}{2}}}={\frac {2x^{\frac {13}{2}}}{13}}-{\frac {12x^{\frac {11}{2}}}{11}}+2x^{\frac {9}{2}}+C$

hier könnte man dann noch $2x^{\frac {9}{2}}$ herausheben, ist aber nicht wirklich nötig. dann würde die endgültige lsg so aussehen:

${\frac {2}{143}}\cdot x^{\frac {9}{2}}\cdot (x(11x-78)+143)+C$

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