TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 242

Man berechne:

$\int \frac{(x-3{)}^2}{x^{-7/2}}\cdot dx$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung

$=\int \frac{(x-3{)}^2}{\frac{1}{x^{7/2}}}\cdot dx=\int (x-3{)}^2\cdot x^{7/2}dx=\int (x^2-6x+9)\cdot x^{7/2}dx$

$=\int (x^{4/2}-6x^{2/2}+9)\cdot x^{7/2}dx=\int x^{11/2}-6x^{9/2}+9x^{7/2}dx$

$=\int x^{11/2}dx-6\int x^{9/2}dx+9\int x^{7/2}dx\to (\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1})$

man darf das Integral aufteilen weil $\to$ linear

$=\frac{x^{\frac{13}{2}}}{\frac{13}{2}}-6\cdot \frac{x^{\frac{11}{2}}}{\frac{11}{2}}+9\cdot \frac{x^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}}=\frac{2x^{\frac{13}{2}}}{13}-\frac{12x^{\frac{11}{2}}}{11}+2x^{\frac{9}{2}}+C$

hier könnte man dann noch $2x^{\frac{9}{2}}$ herausheben, ist aber nicht wirklich nötig. dann würde die endgültige lsg so aussehen:

$\frac{2}{143}\cdot x^{\frac{9}{2}}\cdot (x(11x-78)+143)+C$

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