TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 67

Seien $P_1$ und $P_2$ beliebige Punkte der Zahlengeraden. Man halbiere fortgesetzt die Strecke $\overline{P_1{P}_2}$ in $P_3$, die Strecke $\overline{P_2{P}_3}$ in $P_4$, $\overline{P_3{P}_4}$ in $P_5$, usw. und bestimme die Lage von $P_n$ für $n\to \mathrm{\infty }$.

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Hilfreiches

Mathematik für Informatik, Seite 165, Beispiel 4.37:

Unter einer geometrischen Reihe versteht man eine Reihe der Form

$\sum _{n\ge 0}{q}^n=1+q+q^2+q^3+\mathrm{...}$

[...](Beweis im Buch oder bei Wikipedia)

Im Fall |q| < 1 folgt daraus die Konvergenz der geometrischen Reihe:

$\sum _{n\ge 0}{q}^n=\frac{1}{1-q}$

Lösungsvorschlag von Fabs

Als erstes schauen wir uns einmal an, wie sich das Ganze entwickelt. Wir können o.B.d.A sagen, dass $P_1=0$ und $P_2=1$ ist, weil wir ja abhängig von ihnen die Position von $P_n$ für $n\to \mathrm{\infty }$ suchen. Also ist $P_3=\frac{1}{2}$, $P_4=\frac{3}{4}$, $P_5=\frac{5}{8}$ und $P_6=\frac{11}{16}$.

Wenn wir uns die Strecken, also die Unterschiede zwischen den Werten ansehen, dann ist $\overline{P_1{P}_2}=1$, $\overline{P_2{P}_3}=-\frac{1}{2}$, $\overline{P_3{P}_4}=\frac{1}{4}$, $\overline{P_4{P}_5}=-\frac{1}{8}$ und $\overline{P_5{P}_6}=\frac{1}{16}$. Das Ganze setzt sich in diesem Muster fort.

Wir haben hier also eine geometrische Reihe vorliegen. Unser q ist offensichtlich $-\frac{1}{2}$ (wer will, kann das durch Einsetzen überprüfen...). Da $|-\frac{1}{2}|<1$, ist die Reihe konvergent und wir verwenden die entsprechende Formel:

$\sum _{n\ge 0}{q}^n=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$

Der Grenzwert ist also $\frac{2}{3}$, $P_n$ geht für $n\to \mathrm{\infty }$ also gegen $P_1+\overline{P_1{P}_2}\cdot \frac{2}{3}$

Hier noch eine Erklärung aus dem infoforum