TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 335

Man bestimme die partiellen Ableitungen:

$f(x,y,z)={\frac {{\sqrt {x}}+y^{3}z^{2}}{1+\cos ^{2}(1+x)}}$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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Hilfreiches

Quotientenregel

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$   (Satz 5.5)

$(\cos ^{2}(x))'=-2\sin(x)\cos(x)$

Lösungsvorschlag

${\begin{aligned}f_{x}(x,y,z)&={\frac {{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}(1+\cos ^{2}(1+x))-({\sqrt {x}}+y^{3}z^{2})(-2\sin(1+x)\cos(1+x)))}{(1+\cos ^{2}(1+x))^{2}}}\\&={\frac {1+\cos ^{2}(1+x)+4(x+{\sqrt {x}}y^{3}z^{2})\sin(1+x)\cos(1+x))}{2{\sqrt {x}}(1+\cos ^{2}(1+x))^{2}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}f_{y}(x,y,z)&={\frac {3y^{2}z^{2}(1+\cos ^{2}(1+x))}{(1+\cos ^{2}(1+x))^{2}}}\\&={\frac {3y^{2}z^{2}}{1+\cos ^{2}(1+x)}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}f_{z}(x,y,z)&={\frac {2y^{3}z(1+\cos ^{2}(1+x))}{(1+\cos ^{2}(1+x))^{2}}}\\&={\frac {2y^{3}z}{1+\cos ^{2}(1+x)}}\end{aligned}}$

Links

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Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 23