TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 386

Man bestimme die relativen Extrema der Funktion $f(x,y)=4(x-2)(y^{2}+10y)+3x^{3}$.

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{{Beispiel|1=
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}}

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

$f_{x}=4(y^{2}+10y)+9x^{2}$

$f_{xx}=18x$

$f_{xy}=4(2y+10)=8(y+5)$

$f_{y}=4(x-2)(2y+10)=8(x-2)(y+5)$

$f_{yx}=8(y+5)$

$f_{yy}=8(x-2)$

$H_{f}={\begin{pmatrix}18x&8(y+5)\\8(y+5)&8(x-2)\end{pmatrix}}$

$\det H_{f}=18x\cdot 8(x-2)-\left(8y+40\right)^{2}=144x^{2}-288x-64y^{2}-640y-1600$

Aus $f_{y}=8(x-2)(y+5)=0$ folgen $x=2$ und $y=-5$.

Einsetzen von $x=2$ in $f_{x}$:

${\begin{aligned}4(y^{2}+10y)+9\cdot 2^{2}&=0\\4y^{2}+40y+36&=0\\y^{2}+10y+9&=0\end{aligned}}$

Per Lösungsformel $y_{1,2}=-{\frac {10}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}-9}}=-5\pm 4$ bekommt man $y_{1}=-1$ und $y_{2}=-9$.

Einsetzen von $y=-5$ in $f_{x}$:

${\begin{aligned}4((-5)^{2}+10(-5))+9x^{2}&=0\\4(25-50)+9x^{2}&=0\\9x^{2}&=100&={\sqrt {\frac {100}{9}}}=\pm {\frac {10}{3}}\end{aligned}}$

Die möglichen Lösungen sind daher $P_{1}(2,-9)$, $P_{2}(2,-1)$, $P_{3}({\frac {10}{3}},-5)$ und $P_{4}(-{\frac {10}{3}},-5)$.

$f_{xx}(2,-9)=36>0$

$\det H_{f}(2,-9)=-1024<0$

$P_{1}(2,-9)$ ist daher ein Sattelpunkt von $f$.

$f_{xx}(2,-1)=36>0$

$\det H_{f}(2,-1)=-1024<0$

$P_{2}(2,-1)$ ist daher ein Sattelpunkt von $f$.

$f_{xx}({\frac {10}{3}},-5)=60>0$

$\det H_{f}({\frac {10}{3}},-5)=640>0$

$P_{3}({\frac {10}{3}},-5)$ ist daher ein Minimum von $f$.

$f_{xx}(-{\frac {10}{3}},-5)=-60<0$

$\det H_{f}(-{\frac {10}{3}},-5)=2560>0$

$P_{4}(-{\frac {10}{3}},-5)$ ist daher ein Maximum von $f$.

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 17:33, 9. Mai 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 17:33, 9. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 53 / Beispiel 115

Links

• Thread aus SS10
• Aktueller Thread --Markus Nemetz 17:33, 9. Mai 2006 (CEST)
• UE Runde 7 (11.05.06), Gruppe 12, Allg. Tipps --Markus Nemetz 17:33, 9. Mai 2006 (CEST)