TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 74

Man berechne das Bereichsintegral $\iint _{B}(xy+x^{2}-y^{2})\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y$ über dem Rechtecksbereich, welcher durch die Punkte $A(-1,1)$ , $B(5,1)$ , $C(5,5)$ und $D(-1,5)$ bestimmt ist.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\begin{aligned} \iint_{B} (x y + x^{2} - y^{2}) d x d y & = \int_{- 1}^{5} \int_{1}^{5} (x y + x^{2} - y^{2}) d y d x \\ = \int_{- 1}^{5} {(\frac{1}{2} x y^{2} + x^{2} y - \frac{1}{3} y^{3}) |}_{y = 1}^{5} d x \\ = \int_{- 1}^{5} ((\frac{5^{2}}{2} x + 5 x^{2} - \frac{5^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} x + 1 x^{2} - \frac{1^{3}}{3})) d x \\ = \int_{- 1}^{5} (\frac{25}{2} x + 5 x^{2} - \frac{125}{3} - \frac{1}{2} x - x^{2} + \frac{1}{3}) d x \\ = \int_{- 1}^{5} (12 x + 4 x^{2} - \frac{124}{3}) d x \\ = {(\frac{12}{2} x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} - \frac{124}{3} x) |}_{x =} \end{aligned}$