TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 381

Angabe

Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.
Berechnen Sie den maximalen Wert von $3x+2y$ unter der Nebenbedingung $x+y^{2}=0$

Lösungsvorschlag

Die Nebenbedingung kann als folgende Funktion angegeben werden:
$g(x,y)=x+y^{2}$

Dann können wir die Lagrange-Funktion aufstellen:
$\Lambda (x,y,\lambda )=3x+2y+\lambda \cdot (x+y^{2})$

Von dieser bilden wir die partiellen Ableitungen für alle gesuchten Variablen und setzen diese Null:
$\Lambda _{x}(x,y,\lambda )=3+\lambda \;{\stackrel {!}{=}}\;0$
$\Lambda _{y}(x,y,\lambda )=2+2y\lambda \;{\stackrel {!}{=}}\;0$

Außerdem setzen wir die Funktion der Nebenbedingung gleich Null:
$g(x,y)=x+y^{2}\;{\stackrel {!}{=}}\;0$

Somit haben wir ein lösbares Gleichungssystem bestehend aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Die Unbekannten haben folgende Lösungen:
$\lambda =-3$
$x=-{\frac {1}{9}}$
$y={\frac {1}{3}}$

Woraus sich 1 Extrema ergibt:
$(-{\frac {1}{9}},{\frac {1}{3}})$