TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 391

Angabe

Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.
Welcher Kegel mit gegebener Oberfläche A besitzt maximales Volumen?

Lösungsvorschlag

Zuerst müssen wir uns überlegen wie wir das Volumen als Funktion von der Oberfläche A beschreiben können, sowie Nebenbedingungen festlegen mit denen es sich maximieren lässt. Für einen Kegel existieren folgende relevante Zusammenhänge:

$V(r,h)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

$A(r,h)=r^{2}\pi +r\pi {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$

Somit haben wir eine Funktion für das Volumen und die Oberfläche welche von Parametern abhängig sind, welche die Form eines Kegels eindeutig beschreiben. Das heißt wir können die Funktion der Oberfläche Umformen und als Nebenbedingung annehmen, denn der Kegel muss ja die vorgegebene Oberfläche besitzen und zu dieser die Form finden bei der das Volumen maximal wird. Wir suchen also die unbestimmten Parameter Radius r und Höhe h des Kegels.

$f(r,h)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

$g(r,h)=r^{2}\pi +r\pi {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}-A$

Damit können wir die Lagrange-Funktion aufstellen:

$\Lambda (r,h,\lambda )={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h+\lambda \cdot (r^{2}\pi +r\pi {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}-A)$

Von dieser bilden wir die partiellen Ableitungen für alle gesuchten Variablen und setzen diese, sowie die Nebenbedingung, gleich Null:

$\Lambda _{r}(r,h,\lambda )={\frac {2}{3}}\pi rh+\pi \lambda \cdot (2r+{\frac {r^{2}}{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}+{\sqrt {h^{2}+r^{2}}})\;{\stackrel {!}{=}}\;0$

$\Lambda _{h}(r,h,\lambda )={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h+{\frac {\lambda \pi rh}{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}\;{\stackrel {!}{=}}\;0$

$g(r,h)=r^{2}\pi +r\pi {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}-A\;{\stackrel {!}{=}}\;0$

Somit haben wir ein lösbares Gleichungssystem bestehend aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Die zielführende Vorgehensweise ist erst die partiellen Ableitungen jeweils nach lambda aufzulösen und anschließend gleich zu setzen, dann sind die gesuchten Lösungen sogut wie gefunden:
Partielle Ableitung r nach lambda umformen:

$\Lambda _{r}(r,h,\lambda )={\frac {2}{3}}\pi rh+\pi \lambda \cdot (2r+{\frac {r^{2}}{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}+{\sqrt {h^{2}+r^{2}}})\;{\stackrel {!}{=}}\;0$

$\Leftrightarrow \lambda =-{\frac {{\frac {2}{3}}\pi rh}{\pi \cdot (2r+{\frac {r^{2}}{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}+{\sqrt {h^{2}+r^{2}}})}}$

$\Leftrightarrow \lambda =-{\frac {2rh{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}{3(2r{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}+h^{2}+2r^{2})}}$

Partielle Ableitung h nach lambda umformen:

$\Lambda _{h}(r,h,\lambda )={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h+{\frac {\lambda \pi rh}{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}\;{\stackrel {!}{=}}\;0$

$\Leftrightarrow \lambda =-{\frac {{\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}{\frac {\pi rh}{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}}$

$\Leftrightarrow \lambda =-{\frac {\pi r^{2}{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}{3\pi rh}}$

$\Leftrightarrow \lambda =-{\frac {r{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}{3h}}$

Jetzt können wir beide Darstellungen von lambda gleichsetzen, mit dem Ziel eine der gesuchten Variablen auszudrücken:

$-{\frac {2rh{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}{3(2r{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}+h^{2}+2r^{2})}}\;{\stackrel {!}{=}}\;-{\frac {r{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}{3h}}$

$\Leftrightarrow -2rh{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\cdot 3h=-r{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\cdot 3(2r{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}+h^{2}+2r^{2})$

$\Leftrightarrow -2h^{2}=-2r{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}-h^{2}-2r^{2}$

$\Leftrightarrow -h^{2}+2r^{2}=-2r{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$

$\Leftrightarrow (2r^{2}-h^{2})^{2}=(-2r{\sqrt {h^{2}+r^{2}}})^{2}$

$\Leftrightarrow 4r^{4}-4r^{2}h^{2}+h^{4}=4r^{2}(h^{2}+r^{2})$

$\Leftrightarrow h^{4}-4r^{2}h^{2}=4r^{2}h^{2}$

$\Leftrightarrow h^{2}=8r^{2}$

$\Leftrightarrow h=\pm r2{\sqrt {2}}$

Eine Zwischenrechnung; wir setzen unser Ergebnis für h ein:

${\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\Rightarrow {\sqrt {(\pm r2{\sqrt {2}})^{2}+r^{2}}}\Rightarrow {\sqrt {8r^{2}+r^{2}}}\Rightarrow 3r$

Als nächstes setzen wir unser h, ausgedrückt durch r, in die Nebenbedingung ein um nach r aufzulösen.

$r^{2}\pi +r\pi {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}-A\;{\stackrel {!}{=}}\;0$

$r^{2}\pi +r\pi \cdot 3r=A$

$4r^{2}\pi =A$

$r^{2}={\frac {A}{4\pi }}$

$r={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}$

Das ergibt die sinnvolle (positive) Lösung:

$r={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}\;\;h={\sqrt {\frac {2A}{\pi }}}$

Die Fragestellung ist somit beantwortet, ein Kegel dieser Form, bestimmt durch Radius und Höhe, hat bei gegebener Oberfläche ein maximales Volumen.
Dieses Maximal-Volumen in Abhängigkeit von der Oberfläche kann jetzt auch durch eine Funktion ausgedrückt werden:

$V_{max}(A)={\frac {A}{12}}\cdot {\sqrt {\frac {2A}{\pi }}}$