TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 40

Man untersuche die Folge $\left\langle a_{n}\right\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

$a_{n}={\frac {{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n}}}{\sqrt[{3}]{\frac {1}{n}}}}$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n}}}{\sqrt[{3}]{\frac {1}{n}}}}\\&={\frac {{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n}}}{\sqrt[{3}]{\frac {1}{n}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {n+2}}+{\sqrt {n}}}{{\sqrt {n+2}}+{\sqrt {n}}}}\\&={\frac {n+2-n}{{\sqrt[{3}]{\frac {1}{n}}}\cdot \left({\sqrt {n+2}}+{\sqrt {n}}\right)}}\\&={\frac {2}{{\sqrt[{3}]{\frac {1}{n}}}\cdot \left({\sqrt {n\cdot \left(1+{\frac {2}{n}}\right)}}+{\sqrt {n}}\right)}}\\&={\frac {2}{{\sqrt[{3}]{\frac {1}{n}}}\cdot {\sqrt {n}}\cdot \left({\sqrt {1+{\frac {2}{n}}}}+1\right)}}\\&={\frac {2}{n^{-{\frac {1}{3}}}\cdot n^{\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {1+{\frac {2}{n}}}}+1\right)}}\\&={\frac {2}{n^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}}\cdot \left({\sqrt {1+{\frac {2}{n}}}}+1\right)}}\\&={\frac {2}{n^{\frac {1}{6}}\cdot \left({\sqrt {1+{\frac {2}{n}}}}+1\right)}}\\&={\frac {2}{{\sqrt[{6}]{n}}\cdot \left({\sqrt {1+{\frac {2}{n}}}}+1\right)}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }a_{n}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{{\sqrt[{6}]{n}}\cdot \left({\sqrt {1+{\frac {2}{n}}}}+1\right)}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\underbrace {\sqrt[{6}]{n}} _{\infty }\cdot \underbrace {\left({\sqrt {1+{\frac {2}{n}}}}+1\right)} _{2}}}\\&={\frac {2}{\infty \cdot 2}}\\&=0\end{aligned}}$

Lösungsvorschlag von Padraig

Siehe auch https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_2_2022S.pdf für meinen eher ausführlich erklärten Lösungsvorschlag.