TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 40

Man untersuche die Folge ${⟨a_n⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

$a_n=\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt[3]{\frac{1}{n}}}$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}{a}_n& =\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt[3]{\frac{1}{n}}}\\ & =\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt[3]{\frac{1}{n}}}\cdot \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}\\ & =\frac{n+2-n}{\sqrt[3]{\frac{1}{n}}\cdot (\sqrt{n+2}+\sqrt{n})}\\ & =\frac{2}{\sqrt[3]{\frac{1}{n}}\cdot (\sqrt{n\cdot (1+\frac{2}{n})}+\sqrt{n})}\\ & =\frac{2}{\sqrt[3]{\frac{1}{n}}\cdot \sqrt{n}\cdot (\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1)}\\ & =\frac{2}{n^{-\frac{1}{3}}\cdot n^{\frac{1}{2}}\cdot (\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1)}\\ & =\frac{2}{n^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\cdot (\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1)}\\ & =\frac{2}{n^{\frac{1}{6}}\cdot (\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1)}\\ & =\frac{2}{\sqrt[6]{n}\cdot (\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1)}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{\sqrt[6]{n}\cdot (\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1)}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{\underset{\mathrm{\infty }}{\underbrace{\sqrt[6]{n}}}\cdot \underset{2}{\underbrace{(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1)}}}\\ & =\frac{2}{\mathrm{\infty }\cdot 2}\\ & =0\end{array}$

Lösungsvorschlag von Padraig

Siehe auch https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_2_2022S.pdf für meinen eher ausführlich erklärten Lösungsvorschlag.