TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 399

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

$y-x{y}^{\prime }+1=0$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y^{\prime }+a(x)y=s(x)$ bringen:

$-y^{\prime }+\frac{y}{x}=-\frac{1}{x}$

Lösung der homogenen Gleichung

$-y^{\prime }+\frac{y}{x}=0$

$y^{\prime }=y\frac{1}{x}$

$y^{\prime }=y\frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx}=y\frac{1}{x}$

$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$

$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}$

$\ln |y|=\ln |x|$

$y_h(x)=Cx$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_p(x)=C(x)x$

Einsetzen:

$-C^{\prime }(x)x-C(x)+\frac{C(x)x}{x}=-\frac{1}{x}$

$C^{\prime }(x)x=\frac{1}{x}$

$C^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}$

$C(x)=\int \frac{1}{x^2}dx$

$C(x)=-\frac{1}{x}$

$y_p(x)=C(x)x=-\frac{1}{x}x=-1$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=Cx-1$