TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 399

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

$y-xy'+1=0\,$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y'+a(x)y=s(x)\,$ bringen:

$-y'+{\frac {y}{x}}=-{\frac {1}{x}}\,$

Lösung der homogenen Gleichung

$-y'+{\frac {y}{x}}=0$

$y'=y{\frac {1}{x}}$

$y'=y{\frac {1}{x}}$

${\frac {dy}{dx}}=y{\frac {1}{x}}$

${\frac {dy}{y}}={\frac {dx}{x}}$

$\int {\frac {dy}{y}}=\int {\frac {dx}{x}}$

$\ln |y|=\ln |x|$

$y_{h}(x)=Cx$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_{p}(x)=C(x)x\,$

Einsetzen:

$-C'(x)x-C(x)+{\frac {C(x)x}{x}}=-{\frac {1}{x}}\,$

$C'(x)x={\frac {1}{x}}\,$

$C'(x)={\frac {1}{x^{2}}}\,$

$C(x)=\int {\frac {1}{x^{2}}}dx\,$

$C(x)=-{\frac {1}{x}}\,$

$y_{p}(x)=C(x)x=-{\frac {1}{x}}x=-1\,$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_{h}(x)+y_{p}(x)=Cx-1\,$