TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 407

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

1. (a) $y''-10y'+100y=0\,$
2. (b) $y''+10y'+16y=0\,$
3. (c) $y''-10y'+25y=0\,$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Beispiel (a)

$y''-10y'+100y=0\,$

Charakteristische Gleichung $\lambda ^{2}-10\lambda +100=0\,$ lösen:

$\lambda _{1,2}={\frac {10\pm {\sqrt {100-4*100}}}{2}}=5\pm 5{\sqrt {3}}2i\,$

$\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta =>y(x)=e^{5x}(C_{1}cos(5{\sqrt {3}}x)+C_{2}sin(5{\sqrt {3}}x))\,$

Beispiel (b)

$y''+10y'+16y=0\,$

Charakteristische Gleichung $\lambda ^{2}+10\lambda +16=0\,$ lösen:

$\lambda _{1,2}={\frac {-10\pm {\sqrt {100-4*16}}}{2}}=-5\pm 3\,$

$\lambda _{1}\neq \lambda _{2}=>y(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-8x}\,$

Beispiel (c)

$y''-10y'+25y=0\,$

Charakteristische Gleichung $\lambda ^{2}-10\lambda +25=0\,$ lösen:

$\lambda _{1,2}={\frac {12\pm {\sqrt {100-4*25}}}{2}}=5\,$

$\lambda _{1}=\lambda _{2}=>y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{5x}\,$