TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 407

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

1. (a) $y^{″}-10y^{\prime }+100y=0$
2. (b) $y^{″}+10y^{\prime }+16y=0$
3. (c) $y^{″}-10y^{\prime }+25y=0$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Beispiel (a)

$y^{″}-10y^{\prime }+100y=0$

Charakteristische Gleichung ${\lambda }^2-10\lambda +100=0$ lösen:

${\lambda }_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{100-4\ast 100}}{2}=5\pm 5\sqrt{3}2i$

${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta =>y(x)=e^{5x}(C_{1}cos(5\sqrt{3}x)+C_{2}sin(5\sqrt{3}x))$

Beispiel (b)

$y^{″}+10y^{\prime }+16y=0$

Charakteristische Gleichung ${\lambda }^2+10\lambda +16=0$ lösen:

${\lambda }_{1,2}=\frac{-10\pm \sqrt{100-4\ast 16}}{2}=-5\pm 3$

${\lambda }_1\ne {\lambda }_2=>y(x)=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^{-8x}$

Beispiel (c)

$y^{″}-10y^{\prime }+25y=0$

Charakteristische Gleichung ${\lambda }^2-10\lambda +25=0$ lösen:

${\lambda }_{1,2}=\frac{12\pm \sqrt{100-4\ast 25}}{2}=5$

${\lambda }_1={\lambda }_2=>y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{5x}$