TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 412

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

$y'+2(cot(x))y+sin(2x)=0\,$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y'+a(x)y=s(x)\,$ bringen:

$y'+2(cot(x))y=-sin(2x)\,$

Nebenrechnung: (Substitution: $t=sin(x)=>dt=cos(x)dx=>dx={\frac {dt}{cos(x)}}\,$)

$\int cot(x)dx=\int {\frac {cos(x)}{sin(x)}}dx=\int {\frac {cos(x)dt}{tcos(x)}}=\int {\frac {1}{t}}dt=ln|t|=ln|sin(x)|\,$

Lösung der homogenen Gleichung

$y'+2(cot(x))y=0\,$

${\frac {dy}{dx}}=-2(cot(x))y\,$

${\frac {dy}{y}}=-2(cot(x))dx\,$

$\int {\frac {dy}{y}}=-2\int cot(x)dx\,$

$ln|y|=-ln|sin(x)|\,$

$y_{h}(x)={\frac {C}{sin^{2}(x)}}\,$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_{p}(x)={\frac {C(x)}{sin^{2}(x)}}\,$

Einsetzen: (Hinweis:${\frac {cos(x)}{sin(x)}}=cot(x)\,$)

${\frac {C'(x)}{sin^{2}(x)}}-{\frac {2C(x)}{sin^{3}(x)}}+{\frac {2C(x)}{sin^{3}(x)}}=-sin(2x)\,$

${\frac {C'(x)}{sin^{2}(x)}}=-sin(2x)\,$

$C'(x)=-sin(2x)sin^{2}(x)\,$

$C'(x)=-2sin(x)cos(x)sin^{2}(x)\,$

$C'(x)=-2cos(x)sin^{3}(x)\,$

$C(x)=-2\int cos(x)sin^{3}(x)dx\,$

Substitution:

$t=sin(x)=>dt=cos(x)dx=>dx={\frac {dt}{cos(x)}}dx\,$

$C(x)=-2\int {\frac {cos(x)t^{3}}{cos(x)}}dt=-2{\frac {t^{4}}{4}}=-{\frac {sin^{4}(x)}{2}}\,$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_{h}(x)+y_{p}(x)={\frac {C}{sin^{2}(x)}}-{\frac {sin^{4}(x)}{2}}\,$

[Anmerkung von Krakki]: MMn muss die Lösung von C(x) in die partikuläre Lösung eingesetzt werden, bevor sie zur Gesamtlösung addiert wird, oder? Damit kürzt sich im 2. Summanden das sin²(x) weg.