TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 412

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

$y^{\prime }+2(cot(x))y+sin(2x)=0$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y^{\prime }+a(x)y=s(x)$ bringen:

$y^{\prime }+2(cot(x))y=-sin(2x)$

Nebenrechnung: (Substitution: $t=sin(x)=>dt=cos(x)dx=>dx=\frac{dt}{cos(x)}$)

$\int cot(x)dx=\int \frac{cos(x)}{sin(x)}dx=\int \frac{cos(x)dt}{tcos(x)}=\int \frac{1}{t}dt=ln|t|=ln|sin(x)|$

Lösung der homogenen Gleichung

$y^{\prime }+2(cot(x))y=0$

$\frac{dy}{dx}=-2(cot(x))y$

$\frac{dy}{y}=-2(cot(x))dx$

$\int \frac{dy}{y}=-2\int cot(x)dx$

$ln|y|=-ln|sin(x)|$

$y_h(x)=\frac{C}{si{n}^2(x)}$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_p(x)=\frac{C(x)}{si{n}^2(x)}$

Einsetzen: (Hinweis:$\frac{cos(x)}{sin(x)}=cot(x)$)

$\frac{C^{\prime }(x)}{si{n}^2(x)}-\frac{2C(x)}{si{n}^3(x)}+\frac{2C(x)}{si{n}^3(x)}=-sin(2x)$

$\frac{C^{\prime }(x)}{si{n}^2(x)}=-sin(2x)$

$C^{\prime }(x)=-sin(2x)si{n}^2(x)$

$C^{\prime }(x)=-2sin(x)cos(x)si{n}^2(x)$

$C^{\prime }(x)=-2cos(x)si{n}^3(x)$

$C(x)=-2\int cos(x)si{n}^3(x)dx$

Substitution:

$t=sin(x)=>dt=cos(x)dx=>dx=\frac{dt}{cos(x)}dx$

$C(x)=-2\int \frac{cos(x)t^3}{cos(x)}dt=-2\frac{t^4}{4}=-\frac{si{n}^4(x)}{2}$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=\frac{C}{si{n}^2(x)}-\frac{si{n}^4(x)}{2}$

[Anmerkung von Krakki]: MMn muss die Lösung von C(x) in die partikuläre Lösung eingesetzt werden, bevor sie zur Gesamtlösung addiert wird, oder? Damit kürzt sich im 2. Summanden das sin²(x) weg.