TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 420

Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:

$y^{″}-2y^{\prime }=e^x\sin x$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Lösung der homogenen Gleichung

$y^{″}-2y^{\prime }=0$

${\lambda }^2-2\lambda =0$

$\lambda (\lambda -2)=0$

$\to {\lambda }_1=0,{\lambda }_2=2$

$\to y_h(x)=C_1+C_2{e}^{2x}$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$s(x)=e^{x}sin(x)$

$y_p(x)=A{e}^{x}sin(x)+B{e}^{x}cos(x)$

${y_p}^{\prime }(x)=A{e}^{x}sin(x)+A{e}^{x}cos(x)+B{e}^{x}cos(x)-B{e}^{x}sin(x)$

${y_p}^{″}(x)=A{e}^{x}sin(x)+A{e}^{x}cos(x)+A{e}^{x}cos(x)-A{e}^{x}sin(x)+B{e}^{x}cos(x)-B{e}^{x}sin(x)-B{e}^{x}sin(x)-B{e}^{x}cos(x)$

Einsetzen:

$-2A{e}^{x}sin(x)-2B{e}^{x}cos(x)=e^{x}sin(x)$

$-2A=1\to A=\frac{-1}{2}$

$B=0$

$y_p(x)=\frac{-1}{2}{e}^{x}sin(x)$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=C_1+C_2{e}^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{x}sin(x)$