TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 420

Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:

$y''-2y'=e^{x}\sin x$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Lösung der homogenen Gleichung

$y''-2y'=0\,$

$\lambda ^{2}-2\lambda =0\,$

$\lambda (\lambda -2)=0\,$

$\rightarrow \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=2\,$

$\rightarrow y_{h}(x)=C_{1}+C_{2}e^{2x}\,$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$s(x)=e^{x}sin(x)\,$

$y_{p}(x)=Ae^{x}sin(x)+Be^{x}cos(x)\,$

$y_{p}'(x)=Ae^{x}sin(x)+Ae^{x}cos(x)+Be^{x}cos(x)-Be^{x}sin(x)\,$

$y_{p}''(x)=Ae^{x}sin(x)+Ae^{x}cos(x)+Ae^{x}cos(x)-Ae^{x}sin(x)+Be^{x}cos(x)-Be^{x}sin(x)-Be^{x}sin(x)-Be^{x}cos(x)\,$

Einsetzen:

$-2Ae^{x}sin(x)-2Be^{x}cos(x)=e^{x}sin(x)\,$

$-2A=1\rightarrow A={\frac {-1}{2}}\,$

$B=0\,$

$y_{p}(x)={\frac {-1}{2}}e^{x}sin(x)\,$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}+C_{2}e^{2x}-{\frac {1}{2}}e^{x}sin(x)\,$