TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 425

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

$y^{\prime }=-\frac{1}{x}y+\frac{ln(x)}{x}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y^{\prime }+a(x)y=s(x)$ bringen:

$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=\frac{ln(x)}{x}$

Lösung der homogenen Gleichung

$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=0$

$y^{\prime }=-\frac{1}{x}y$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x}y$

$\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}$

$\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{x}$

$ln|y|=-ln|x|$

$y_h(x)=\frac{C}{x}$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_p(x)=\frac{C(x)}{x}$

Einsetzen:

$\frac{C^{\prime }(x)}{x}-\frac{C(x)}{x^2}+\frac{C(x)}{x^2}=\frac{ln(x)}{x}$

$C^{\prime }(x)=ln(x)$

Partiell integrieren:

$C(x)=\int ln(x)dx=\int 1ln(x)dx=xln(x)-\int x\frac{1}{x}dx=xln(x)-x=x(ln(x)-1)$

$y_p(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{x(ln(x)-1))}{x}=ln(x)-1$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=\frac{C}{x}+ln(x)-1$