TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 425

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

$y'=-{\frac {1}{x}}y+{\frac {ln(x)}{x}}\,$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y'+a(x)y=s(x)\,$ bringen:

$y'+{\frac {1}{x}}y={\frac {ln(x)}{x}}\,$

Lösung der homogenen Gleichung

$y'+{\frac {1}{x}}y=0\,$

$y'=-{\frac {1}{x}}y\,$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{x}}y\,$

${\frac {dy}{y}}=-{\frac {dx}{x}}\,$

$\int {\frac {dy}{y}}=-\int {\frac {dx}{x}}\,$

$ln|y|=-ln|x|\,$

$y_{h}(x)={\frac {C}{x}}\,$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_{p}(x)={\frac {C(x)}{x}}\,$

Einsetzen:

${\frac {C'(x)}{x}}-{\frac {C(x)}{x^{2}}}+{\frac {C(x)}{x^{2}}}={\frac {ln(x)}{x}}\,$

$C'(x)=ln(x)\,$

Partiell integrieren:

$C(x)=\int ln(x)dx=\int 1ln(x)dx=xln(x)-\int x{\frac {1}{x}}dx=xln(x)-x=x(ln(x)-1)\,$

$y_{p}(x)={\frac {C(x)}{x}}={\frac {x(ln(x)-1))}{x}}=ln(x)-1\,$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_{h}(x)+y_{p}(x)={\frac {C}{x}}+ln(x)-1\,$