TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 68

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Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der de Moivreschen Formel den Grenzwert der Reihe:

\sum_{n \geq 0}^{\infty} {\frac{\sin\frac{n\pi}{3}}{2^n}}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Moivre'sche Formel[Bearbeiten]

(\cos x + i\, \sin x)^n = \cos(n\,x) + i\,\sin(n\,x)

Geometrische Reihe[Bearbeiten, WP, 4.37 Beispiel]

Eine geometrische Reihe {\textstyle \sum_{n=0}^{\infty}a_0\cdot q^n} ist:

  • konvergent für |q| < 1. Es gilt:
\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = \frac{a_0}{1-q}
  • divergent für |q| \ge 1

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

von --Sk4g3n (Diskussion) 22:12, 4. Mai 2013 (CEST)

\Im steht für Imaginärteil (man kann stattdessen auch Im schreiben).

\sin\frac{n\pi}{3} = \Im\left(\cos\frac{n\pi}{3} + i\sin\frac{n\pi}{3}\right) = \Im\left(\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)^n\right) = \Im\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^n\right)

\frac{\sin\frac{n\pi}{3}}{2^n} = \frac{\Im\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^n\right)}{2^n} =
\Im\left(\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^n}{2^n}\right) = \Im\left(\left(\frac{1}{4} + \frac{i\sqrt{3}}{4}\right)^n\right)

sei q = \frac{1}{4} + \frac{i\sqrt{3}}{4},\quad |q| = \left|\frac{1}{4} + \frac{i\sqrt{3}}{4}\right| = \frac{1}{2}

dann gilt \sum_{n\geq0} q^n ist eine geometrische Reihe mit \sum_{n\geq0} q^n = \frac{1}{1-q} = \frac{1}{\frac{3}{4}-\frac{i\sqrt{3}}{4}} \stackrel{*}{=}
1 + i\frac{\sqrt{3}}{3}

(*) Anm. von Mangostaniko: Für diese Umformung muss man einfach die Division durchführen, d.h. der Nenner muss reell werden, durch Multiplikation mit der zum Nenner konjugiert komplexen Zahl.

Es gilt also \sum_{n\geq0}\frac{\sin\frac{n\pi}{3}}{2^n} = \sum_{n\geq0} \Im\left(q^n\right) = \Im\left(\sum_{n\geq0} q^n\right) = \Im\left(\frac{1}{1-q}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}