TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 69

Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der de Moivreschen Formel den Grenzwert der Reihe:

$\sum _{n\ge 0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \frac{n\pi }{3}}{2^n}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Moivre'sche Formel

$(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)$

Lösungsvorschlag

Für einen einfacheren Lösungsweg siehe Beispiel 68.

Der Übersicht halber: $x=\frac{\pi }{3}$

Moivrsche Formel umformen:

$\cos (nx)=(\cos x+i\sin x{)}^n-i\sin (nx)$

Einsetzen, Summe aufsplitten und ein wenig vereinfachen:

$\sum _{n\ge 0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\cos x+i\sin x}{2}\right)}^n-i\sum _{n\ge 0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (nx)}{2^n}$

Wir sehen, dass die Summe eine geometrische Reihe repräsentiert:

$\sum _{n\ge 0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n=\frac{1}{1-q}$

Daher können wir schreiben:

$\frac{1}{1-\frac{\cos x+i\sin x}{2}}-i\sum _{n\ge 0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (nx)}{2^n}$

Es gilt $\cos (\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2}$.

Daher können wir einige Vereinfacherungen vornehmen:

$\frac{4}{3-i\cdot 2\sin x}-i\sum _{n\ge 0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (nx)}{2^n}$

Um den imaginären Teil in den Zähler zu bekommen, damit wir ihn herausheben können, müssen wir erweitern:

$\frac{4\cdot (3+i\cdot 2\sin x)}{(3-i\cdot 2\sin x)\cdot (3+i\cdot 2\sin x)}-i\sum _{n\ge 0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (nx)}{2^n}$

Woraus, nach herausheben des imaginären Teils, folgt:

$\frac{12}{9+4\sin (x{)}^2}+i(\frac{8\sin x}{9+4\sin (x{)}^2}-\sum _{n\ge 0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (nx)}{2^n})$

Es gilt: $\sin (\frac{\pi }{3}{)}^2=\frac{3}{4}$

Also folgt:

$1+i(\frac{8\sin x}{9+4\sin (x{)}^2}-\sum _{n\ge 0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (nx)}{2^n})$

Wenn wir nun den relevanten Real-Teil betrachten ist das Ergebnis:

Grenzwert = 1

Und wir sind zufrieden :)

Lösungsvorschlag von Padraig

Siehe auch https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_2_2022S.pdf für meinen eher ausführlich erklärten Lösungsvorschlag.