TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 69

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Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der de Moivreschen Formel den Grenzwert der Reihe:

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
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Angabetext
}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Moivre'sche Formel

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen einfacheren Lösungsweg siehe Beispiel 68.

Der Übersicht halber:

Moivrsche Formel umformen:

Einsetzen, Summe aufsplitten und ein wenig vereinfachen:

Wir sehen, dass die Summe eine geometrische Reihe repräsentiert:

Daher können wir schreiben:

Es gilt .

Daher können wir einige Vereinfacherungen vornehmen:

Um den imaginären Teil in den Zähler zu bekommen, damit wir ihn herausheben können, müssen wir erweitern:

Woraus, nach herausheben des imaginären Teils, folgt:

Es gilt:

Also folgt:

Wenn wir nun den relevanten Real-Teil betrachten ist das Ergebnis:

Grenzwert = 1

Und wir sind zufrieden :)

Lösungsvorschlag von Padraig[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_2_2022S.pdf für meinen eher ausführlich erklärten Lösungsvorschlag.