TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 68

Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der de Moivreschen Formel den Grenzwert der Reihe:

$\sum _{n\geq 0}^{\infty }{\frac {\sin {\frac {n\pi }{3}}}{2^{n}}}$

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Hilfreiches

Moivre'sche Formel

$(\cos x+i\,\sin x)^{n}=\cos(n\,x)+i\,\sin(n\,x)$

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{0}\cdot q^{n}}$ ist:

• für $|q|<1$ konvergent und es gilt:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{0}q^{n}={\frac {a_{0}}{1-q}}$

• für $|q|\geq 1$ divergent   (Beispiel 4.37)

Lösungsvorschlag

von --Sk4g3n (Diskussion) 22:12, 4. Mai 2013 (CEST)

$\Im$ steht für Imaginärteil (man kann stattdessen auch Im schreiben).

$\sin {\frac {n\pi }{3}}=\Im \left(\cos {\frac {n\pi }{3}}+i\sin {\frac {n\pi }{3}}\right)=\Im \left(\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)^{n}\right)=\Im \left(\left({\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}\right)$

${\frac {\sin {\frac {n\pi }{3}}}{2^{n}}}={\frac {\Im \left(\left({\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}\right)}{2^{n}}}=\Im \left({\frac {\left({\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}}{2^{n}}}\right)=\Im \left(\left({\frac {1}{4}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{4}}\right)^{n}\right)$

sei $q={\frac {1}{4}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{4}},\quad |q|=\left|{\frac {1}{4}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{4}}\right|={\frac {1}{2}}$

dann gilt $\sum _{n\geq 0}q^{n}$ ist eine geometrische Reihe mit $\sum _{n\geq 0}q^{n}={\frac {1}{1-q}}={\frac {1}{{\frac {3}{4}}-{\frac {i{\sqrt {3}}}{4}}}}{\stackrel {*}{=}}1+i{\frac {\sqrt {3}}{3}}$

(*) Anm. von Mangostaniko: Für diese Umformung muss man einfach die Division durchführen, d.h. der Nenner muss reell werden, durch Multiplikation mit der zum Nenner konjugiert komplexen Zahl.

Es gilt also $\sum _{n\geq 0}{\frac {\sin {\frac {n\pi }{3}}}{2^{n}}}=\sum _{n\geq 0}\Im \left(q^{n}\right)=\Im \left(\sum _{n\geq 0}q^{n}\right)=\Im \left({\frac {1}{1-q}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{3}}$