TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 68

Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der de Moivreschen Formel den Grenzwert der Reihe:

$\sum _{n\ge 0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \frac{n\pi }{3}}{2^n}$

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Hilfreiches

Moivre'sche Formel

$(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)$

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_0\cdot q^n$ ist:

• für $|q|<1$ konvergent und es gilt:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_0{q}^n=\frac{a_0}{1-q}$

• für $|q|\ge 1$ divergent   (Beispiel 4.37)

Lösungsvorschlag

von --Sk4g3n (Diskussion) 22:12, 4. Mai 2013 (CEST)

$\mathrm{\Im }$ steht für Imaginärteil (man kann stattdessen auch Im schreiben).

$\sin \frac{n\pi }{3}=\mathrm{\Im }(\cos \frac{n\pi }{3}+i\sin \frac{n\pi }{3})=\mathrm{\Im }\left({(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})}^n\right)=\mathrm{\Im }\left({(\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2})}^n\right)$

$\frac{\sin \frac{n\pi }{3}}{2^n}=\frac{\mathrm{\Im }\left({(\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2})}^n\right)}{2^n}=\mathrm{\Im }\left(\frac{{(\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2})}^n}{2^n}\right)=\mathrm{\Im }\left({(\frac{1}{4}+\frac{i\sqrt{3}}{4})}^n\right)$

sei $q=\frac{1}{4}+\frac{i\sqrt{3}}{4},|q|=|\frac{1}{4}+\frac{i\sqrt{3}}{4}|=\frac{1}{2}$

dann gilt $\sum _{n\ge 0}{q}^n$ ist eine geometrische Reihe mit $\sum _{n\ge 0}{q}^n=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{\frac{3}{4}-\frac{i\sqrt{3}}{4}}\stackrel{\ast }{=}1+i\frac{\sqrt{3}}{3}$

(*) Anm. von Mangostaniko: Für diese Umformung muss man einfach die Division durchführen, d.h. der Nenner muss reell werden, durch Multiplikation mit der zum Nenner konjugiert komplexen Zahl.

Es gilt also $\sum _{n\ge 0}\frac{\sin \frac{n\pi }{3}}{2^n}=\sum _{n\ge 0}\mathrm{\Im }\left(q^n\right)=\mathrm{\Im }\left(\sum _{n\ge 0}{q}^n\right)=\mathrm{\Im }\left(\frac{1}{1-q}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$