TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 71

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Für n = 1, 2, 3, ... sei

.

Weiters sei .

  1. (a) Berechnen Sie die Partialsummen von B.
  2. (b) Berechnen Sie den Wert von B.
  3. (c) Begründen Sie . Konvergiert A?
  4. (d) Warum ist falsch, obwohl ?
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Lösungsvorschlag von Clemens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel a[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir suchen Sn, wobei S0 = a0, S1 = a0 + a1,... also allgemein Sn =

Bei unserem Beispiel wäre das also:

Man sieht, dass die mittleren alls rausfallen, übrig bleibt also:

Beispiel b[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Variante 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da wir in Punkt a) bereits die Partialsummen gebildet haben, können wir diese verwenden. B (die Summe von bn's) ist im Prinzip der Grenzwert von (Sn).

geht gegen 0, daher ist B = 1

--> Bitte erläutern: Warum ist hier B = 1 und nicht B = 0 ??
--> Antwort: Da obige Teleskopsumme noch die Konstante 1 enthält: Allerdings bin ich der Meinung, dass das nicht 1 sondern sein sollte, da n in der Angabe ab 1 und nicht ab 0 beginnt.
--> Achtung: es gibt 2 verschiedene Angaben, das n für die Folgen geht bei beiden von n = 1, 2, 3... die Summe geht hier (Grenzwert = 1) allerdings von 0 weg wie man auch oben in der Angabe sieht, bei der neueren Version geht die Summe allerdings bei 1 los, weshalb dann der Grenzwert ist.

wobei der Term gegen 0 konvergiert, daher ist

Variante 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um auf den Wert von einer unbekannten Reihe zu kommen, ist es immer Sinnvoll, diese so umzuformen, dass man auf bekannte Reihen kommt (oder zumindest teilweise).

Wenn wir nun betrachten:

und

Dies könnte man nun noch weiter machen und es werden immer mehr (8, 16, 32, ..) Brüche gemeinsam einen Bruch der Form ergeben.

Da ist, können wir sagen, dass unser B ebenfalls 1 ist.

Beispiel c[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Angabe wurde geändert. War vorher: Begründen Sie an <= 6bn für n >= 1. Konvergiert A?

Diese Begründung habe ich mittels vollständiger Induktion gemacht:

für

bei n=1: passt

für n --> n+1 zu zeigen:

Ich multipliziere mit beiden Nennern (um sie los zu werden).

Da bestimmt ist, trifft dies immer zu --> q.e.d.

Anmerkung: Berechnung richtig, allerdings ist das keine vollständige Induktion, da die Induktionsvorraussetzung nicht verwendet wurde (bestätigt durch Prof. Karigl). --pauly.

Nun muss man noch zeigen, dass A Konvergiert. Dieses Bsp. hat Prof. Karigl bereits in der VO gemacht:

(.. falsch laut Tutor)

konvergiert, denn für und (Mittels Majorantenkriterium)

Anmerkung: Die Summe konvergiert nicht. Du hast einen Falschen Bruch für bn angegeben. Rechnet man kommt raus, was für n>0 nicht stimmen kann. Demnach ist bn kein Majorant von an.

Antwort zur Anmerkung: Deshalb haben wir oben bewiesen. Dass nicht stimmen kann ist trivial.

Hinweis:

Beispiel d[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Variante 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da (cn) und (dn) divergent sind, können wir damit nicht rechnen.

Variante 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dies ist meiner Meinung nach ganz banal zu Begründen, da C und D jeweils unendlich sind (da es die Folgen sind, die evtl. später beginnen, und daher die Summe unendlich ist).

B ist allerdings 1 (siehe Beispiel b) und