TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 72

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Man untersuche folgende Reihe auf Konvergenz:

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}


Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Minorantenkriterium


Wenn und zwei Reihen sind, für fast alle gilt und divergent, dann ist auch divergent.   (Satz 4.48)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuerst versucht man das Abzuschätzen, d.h. in dem Fall lässt man die Konstanten weg wodurch sich folgendes ergibt:

Das sieht nach der harmonische Reihe aus. Diese ist wie bekannt divergent.

Also versuchen wir mit Hilfe des Minorantenkriteriums zu beweisen, dass unsere Reihe ebenfalls divergent ist.

Dazu benötigen wir nur noch eine passende divergente Folge für die gilt .

Dazu versuchen wir es mit dem Approximationsergebnis von oben, also . Dass diese Reihe selbst divergent ist, ist leicht zu sehen, weil man die auch vor die Summe ziehen kann.

gilt offensichtlich auch

ist divergent