TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 72

Man untersuche folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\ge 0}\frac{3\cdot n^2+1}{5\cdot n^3-2}$

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Hilfreiches

Minorantenkriterium

Wenn $\sum a_n$ und $\sum b_n$ zwei Reihen sind, $0\le a_n\le b_n$ für fast alle $n$ gilt und $\sum a_n$ divergent, dann ist auch $\sum b_n$ divergent.   (Satz 4.48)

Lösungsvorschlag

$a_n=\frac{3\cdot n^2+1}{5\cdot n^3-2}$

Zuerst versucht man das Abzuschätzen, d.h. in dem Fall lässt man die Konstanten weg wodurch sich folgendes ergibt:

$\frac{3\cdot n^2+1}{5\cdot n^3-2}\approx \frac{3\cdot n^2}{5\cdot n^3}=\frac{3}{5n}$

Das sieht nach der harmonische Reihe $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n}$aus. Diese ist wie bekannt divergent.

Also versuchen wir mit Hilfe des Minorantenkriteriums zu beweisen, dass unsere Reihe ebenfalls divergent ist.

Dazu benötigen wir nur noch eine passende divergente Folge $b_n$für die gilt $0\le b_n\le a_n$.

Dazu versuchen wir es mit dem Approximationsergebnis von oben, also $b_n=\frac{3}{5n}$. Dass diese Reihe selbst divergent ist, ist leicht zu sehen, weil man die $\frac{3}{5}$auch vor die Summe ziehen kann.

$\sum _{n\ge 1}\frac{3}{5n}=\frac{3}{5}\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n}=\frac{3}{5}\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }\Rightarrow divergent$

$0\le \frac{3}{5n}$ gilt offensichtlich auch

$\frac{3}{5n}\le \frac{3\cdot n^2+1}{5\cdot n^3-2}$

$15\cdot n^3-6\le 15\cdot n^3+5n$

$0\le 5n+6$

$\Rightarrow b_n\le a_n$

$\Rightarrow a_n$ ist divergent