TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 74

Man unersuche die folgende Reihe auf Konvergenz: $\sum _{n\geq 0}{\frac {n+2}{6^{n}}}$

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Lösung von andionline

anmerkung: ich glaube dass das so nicht stimmt. in der definition vom quotientenkriterium is nirgends die rede von einem limes bzw. kann man damit doch nur feststellen OB die reihe konvergiert und nicht gegen welchen wert?

Anmerkung von Idg: Scheint tatsächlich falsch zu sein, die Anwendung des Quotientenkriteriums ist aber der richtige Weg: Einfach an+1/an bestimmen, ergibt 1/4 < 1, daraus schließt sich die Konvergenz.

Anmerkung: Es handelt sich um die Limesform des Quotientenkriterium

Anmerkung: Die Limesform ist hier absolut zulässig, da es lediglich um die Feststellung konvergent/divergent geht, der Rechenweg unten scheint mir korrekt zu sein. --Barfoos (Diskussion) 13:08, 9. Jan. 2016 (CET)

Lösung von Tina

Quotientenkriterium

Wenn $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q<1\;\forall n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.

Falls hingegen $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1\;\forall n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ divergent.   (Satz 4.52)

$a_{n}={\frac {n+2}{6^{n}}}$

$a_{n+1}={\frac {n+1+2}{6^{n+1}}}$

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {\frac {n+1+2}{6^{n+1}}}{\frac {n+2}{6^{n}}}}={\frac {(n+3)*6^{n}}{(n+2)*6^{n+1}}}={\frac {(n+3)}{(n+2)*6^{1}}}<1\rightarrow$ Die Reihe ist absolut konvergent.