TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 6

Man finde alle Häufungspunkte der Folge

$a_{n}={\frac {{\sqrt {n}}\cdot \cos({\frac {n\pi }{2}})}{{\sqrt {n}}+\sin({\frac {n\pi }{2}})}},\quad (n\geq 1)$.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Ähnlich wie bei Beispiel 4 und 5 (SS14) sieht man sich zunächst an ob und wie sich die einzelnen Teile wiederholen:

n :	1	2	3	4	5	6	7	8	9	...
${\sqrt {n}}:$	1	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {3}}$	2	${\sqrt {5}}$	${\sqrt {6}}$	${\sqrt {7}}$	${\sqrt {8}}$	3	...
cos-Teil :	0	-1	0	1	0	-1	0	1	0	...
sin-Teil :	1	0	-1	0	1	0	-1	0	1	...

zunächst kann man feststellen das sich der sowohl der cos-teil als auch der sin-teil jeweils nach einer 4er Periode wiederholen.

Leider ist dies bei sqrt(n) nicht der Fall. Mal sehen ob wir doch noch was tricksen können. Wenn wir uns ansehen wie der obere Teil des Bruches aufgebaut ist stellen wir fest das wir immer multiplizieren. Dies ist gut weil wenn wir x*0 rechnen und das durch irgendetwas dividieren haben wir wieder 0. Yeahi. Also können wir schon mal bei der Hälfte der Fälle sagen das uns im Endeffekt 0 rauskommt.

Jetzt bleiben uns noch alle Fälle bei dem der cos-Teil nicht 0 geworden ist. Wenn man das genauer betrachtet sieht man dass der sin-Teil genau bei diesen Fällen immer 0 ist. dh. wir haben im unteren Teil des Bruches nur noch den sqrt(n) Teil stehen. Und nachdem oben multipliziert werden soll mit genau diesem sqrt(n), kann man das hier schön kürzen und als endergebnis bleibt an diesen stellen immer nur der entsprechende cos-Teil stehen. Also entweder 1 oder -1.

n :	1	2	3	4	5	6	7	8	9	...
Ergebnis :	0	-1	0	1	0	-1	0	1	0	...

Unsere Häufungspunkte sind also 0,1 und -1.

(Wobei 0 doppelt so häufig vorkommt wie 1 bzw -1)

Links

Beispiel 4: TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_WS11/Beispiel_4

Beispiel 5: TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_WS11/Beispiel_5