TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 5
Man finde alle Häufungspunkte der Folge
Vorschlag von Thomas[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ich betrachte die beiden Summanden als Teilfolgen. Der linke Teil mit sin(n*Pi/2) kann nur die Werte -1, 1 oder 0 annehmen, aufgrund der Sinusfunktion Und die rechte Teilfolge ist alternierend entweder -1 oder 1.
Daraus ergeben sich mit ein bisschen nachrechen folgende vier Häufungspunkte: 2, 0, -2 und 1
Ich bitte noch darum die Angabe einzufügen, bin da eher ein n00b.
Die Lösung für die rechte Teilfolge stimmt natürlich, man muss sich aber auch noch anschauen wann genau sie +1 oder -1 wird. das ist +1 wenn der Exponent gerade ist, sonst -1. Und da der Exponent durch 2 geteilt wird muss der Zähler nicht nur durch 2, sondern sogar durch vier Teilbar sein. Das passiert wenn entweder n oder (n+1) durch 4 teilbar sind (oder beide durch 2, was aber natürlich nicht geht), also immer sozusagen beim 3. und 4. Glied von 4. Wenn man sich jetzt noch die sinus-funktion anschaut sieht man dass die praktischerweise auch sich immer nach 4 mal wiederholt, also 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1 .... und der rechte teil: 1, -1,-1, 1 1,-1,-1, 1
wenn man jetzt noch beide addiert erhält man
1, 0, -1, 0
also sind 1, -1 und null die Häufungswerte
Frage: Warum sind 2 und -2 jetzt keine Häufungspunkte?
Weil die gesamte Folge die Werte 2 und -2 nie annimmt. Deshalb können sie auch keine Häufungspunkte sein.
Und auch 0 ist ein Häufungspunkt da bis auf endliche viele unendliche viele 0 darin liegen