TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS14/Beispiel 7

Man zeige, dass die Folge $a_n=\frac{\sin (n)}{n}$ (n>=1) nur 0 als Häufungspunkt hat.

Lösungsvorschlag

Man erkennt leicht, dass die Folge gegen 0 konvergiert (n im Nenner). Somit ist 0 Grenzwert dieser Folge. Da in jeder Umgebung des Grenzwerts fast alle Folgenglieder liegen, kann eine konvergente Folge nur einen Häufungspunkt besitzen - nämlich der Grenzwert.

Lösungsvorschlag

$-1\le \sin (n)\le 1$

$\frac{-1}{n}:-1;-0,5;-0,33;-0,25;-0,2;\mathrm{...}\to 0$

$\frac{1}{n}:1;0,5;0,33;0,25;0,2;\mathrm{...}\to 0$

$=>\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin (n)}{n}=0$