TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS14/Beispiel 7

Man zeige, dass die Folge $a_{n}={\frac {\sin(n)}{n}}$ (n>=1) nur 0 als Häufungspunkt hat.

Lösungsvorschlag

Man erkennt leicht, dass die Folge gegen 0 konvergiert (n im Nenner). Somit ist 0 Grenzwert dieser Folge. Da in jeder Umgebung des Grenzwerts fast alle Folgenglieder liegen, kann eine konvergente Folge nur einen Häufungspunkt besitzen - nämlich der Grenzwert.

Lösungsvorschlag

$-1\leq \sin(n)\leq 1$

${\frac {-1}{n}}:-1;-0,5;-0,33;-0,25;-0,2;...\rightarrow 0$

${\frac {1}{n}}:1;0,5;0,33;0,25;0,2;...\rightarrow 0$

$=>\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sin(n)}{n}}=0$