TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS14/Beispiel 97

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 97. Vergleich

Angabe

Man untersuche für welche $x\in \mathbb {R}$ die folgende Funktionenreihe konvergiert:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+1}}(x+1)^{n}$

Lösungsvorschlag von Vendredi

Wir möchten den Konvergenzradius bestimmen. Dazu sehen wir uns die Reihe mal etwas genauer an. Wir wissen, dass dem Aufbau nach ${\frac {n}{n^{2}+1}}$ unsere Folge ist.

Weiter können wir folgende Formel verwenden um unseren Radius zu bestimmen:

$R=\lim _{n\to \infty }|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}|$ (diese Formel kommt von: http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe#Konvergenzradius - Achtung: das ist NICHT die übliche Formel für das Quotientenkriterium!)

$R=\lim _{n\to \infty }|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}|=|{\frac {\frac {n}{n^{2}+1}}{\frac {n+1}{(n+1)^{2}+1}}}|$

Jetzt einfach nur mehr den Doppelbruch auflösen, etwas zusammenfassen und ausmultiplizieren und letztlich dann nur noch Zähler und Nenner durch die höchste Potenz ($n^{3}$) dividieren. Das Ergebnis sollte 1 sein.

Das heißt, für alle $x\in \mathbb {R} :|x-x_{0}|<R$ ist unsere Funktionenreihe konvergent, divergent für alle außerhalb dieses Bereichs :)

Siehe auch TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_WS12/Beispiel_10