TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS15/Beispiel 3

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Gibt es eine Folge reeler Zahlen, die als Häufungspunkte genau alle rationalen Zahlen hat?

Lösungsvorschlag von Ryus[edit]

Nein!

Angenommen, wir hätten so eine Folge, deren Häufungspunkte GENAU (d.h. nicht weniger und auch nicht mehr als) die rationalen Zahlen sind. Dann könnten wir nun eine beliebige irrationale Zahl x betrachten. In jeder beliebig kleinen Epsilon-Umgebung von x liegen nun sicher rationale Zahlen. Und alle rationalen Zahlen sind Häufungspunkte, sie sind also umgeben von unendlich vielen Elementen der Folge. Daher befinden sich auch in jeder beliebig kleinen Epsilon-Umgebung von x unendlich viele Elemente der Folge. Daher muss x auch ein Häufungspunkt sein. Also folgt ein Widerspruch zur ursprünglichen Annahme, dass die Häufungspunkte genau die rationalen Zahlen seien.

Wir stellen also fest, dass jede Folge, die als Häufungspunkte alle rationalen Zahlen besitzt, gleichzeitig auch alle irrationalen Zahlen als Häufungspunkte hat.

--Ryus (Diskussion) 22:09, 11. Apr. 2015 (CEST)

Gegenargument[edit]

Doch!

Also, als erstes der leichte Teil. Eine Folge finden die alle rationalen Zahlen als Häufungspunkt hat. (Ohne die Voraussetzung dass es GENAU alle sind.)

Stichwort “Cantors erstes Diagonalargument”. Die rationalen Zahlen sind abzählbar und jeder natürlichen Zahl lässt sich eine rationale Zahl zuordnen. Eine Folge die alle natürlichen Zahlen als Häufungspunkte hat wäre: an = 1, 1,2, 1,2,3, 1,2,3,4, etc.

Analog lässt sich eine Folge für die rationalen Zahlen finden:

an = 1/1, 1/1, 2/1, 1/2, 2/2, 1/1, 2/1, 1/2, 2/2, 1/3, 3/1, 2/3, 3/2, 3/3 etc.

(1/1 = 2/2 = 3/3, die äquivalenten Brüche könnte man natürlich rauslassen, stören aber auch nicht...)

Der schwierige Teil ist jetzt zu zeigen, dass die irrationalen Zahlen keine Häufungspunkte dieser Folge sind.

Jedes Glied dieser Folge ist ein Häufungspunkt, da jedes Glied unendlich oft vorkommt. In diesem Fall kann eine Zahl, die kein Teilglied der Folge ist, auch kein Häufungspunkt sein: Für eine Zahl, die kein Teilglied ist, lässt sich eine Epsilon Umgebung so klein wählen, dass keine Glieder der Folge in ihr liegen.

(Dass gilt nicht allgemein gültig. Ein Häufungspunkt muss nicht per se Teilglied der Folge sein. Bei der Folge 1/n ist 0 ein Häufungspunkt, obwohl 0 kein Teilglied der Folge ist.)

Tut mir leid, da liegst du falsch. Lies noch mal meine Argumentation! In jeder beliebig kleinen Epsilon-Umgebung einer irrationalen Zahl liegen IMMER rationale Zahlen. Es ist nicht möglich ein so kleines Intervall um eine irrationale Zahl zu bilden, so dass keine rationale Zahl in diesem Intervall liegt. Es ist prinzipiell nicht möglich, ein Intervall zwischen zwei Zahlen zu bilden, ohne dass rationale Zahlen darin liegen würden. Falls du mir nicht glaubst, versuch einfach mal so eine Epsilon-Umgebung um eine beliebige irrationale Zahl zu finden, in der keine rationalen Zahlen liegen. Du wirst hoffentlich feststellen, dass dies nicht möglich ist.
Meine obige Lösung wurde übrigens im SS15 von Prof. Länger als korrekt bestätigt.
--Ryus (Diskussion) 12:45, 24. Okt. 2015 (CEST)
Nochmal zur besseren Illustration. Sei unsere irrationale Zahl z.B. Pi:
Und definieren uns ein Epsilon von 0.0001. Unsere Umgebung geht dann von 3,1414926... bis 3,1416926... Dann liegen z.B. die rationale Zahlen 3.1415, 3.1416, 3.14168 etc. immer noch in der Epsilon-Umgebung um Pi.
Wähle ich dagegen ein Epsilon von 0.0000001. Die Umgebung geht dann von 3,1415925... bis 3,1415927... Dann liegt z.B. die rationale Zahl 3.1415926 immer noch in der Epsilon-Umgebung um Pi. So ein Verfahren kann für beliebig kleine Epsilons fortgesetzt werden.
--Ryus (Diskussion) 17:57, 24. Okt. 2015 (CEST)