TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 95

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:

$\sum _{n\ge 0}\frac{z^{2n}}{(2n)!},z\in ℂ$

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Hilfreiches

Quotientenkriterium

Wenn $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le q<1\mathrm{\forall }n\ge n_0$, dann ist $\sum a_n$ absolut konvergent.

Falls hingegen $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge 1\mathrm{\forall }n\ge n_0$, dann ist $\sum a_n$ divergent.   (Satz 4.52)

Lösungsvorschlag

von --Mario96 (Diskussion) 22:54, 8. Nov. 2017 (CET)

Wir setzten in das Quotientenkriterium ein und kürzen:

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{z^{2(n+1)}}{(2(n+1))!}}{\frac{z^{2n}}{(2n)!}}\right|=\frac{z^{2n+2}(2n)!}{z^{2n}(2n+2)!}=\frac{z^2}{(2n+2)(2n+1)}$

Um den Grenzwert zu berechnen heben wir die Konstante $|z^2|$ heraus:

$\begin{array}{cc}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{z^2}{(2n+2)(2n+1)}\right|\\ =& |z^2|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}\right|\\ =& |z^2|0=0<1\end{array}$

Die Reihe konvergiert.