TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 121

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Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion

Sei ein Intervall und eine streng monotone und stetige Funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion und ist ebenfalls stetig. (Satz 4.91)

Satz 4.92:

Seien f(x) und g(x) stetige Funktionen. Dann sind die folgenden Funktionen - auf geeigneten Definitionsbereichen - ebenfalls stetig:

(falls g(x)0)

Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus Satz 4.92 folgt, dass g(x) stetig ist.

Monotonie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Annahme streng monoton wachsend:

--> g(x) ist streng monoton steigend

Umkehrfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

g(x) ist streng monoton und stetig ---> besitzt eine Umkehrfunktion.

Die Umkehrfunktion ist also

--Slaybert (Diskussion) 11:51, 27. Apr. 2013 (CEST)