TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 167

Mit Hilfe der Taylorentwicklung approximiere man die Funktion $f(x)=8(x+1)^{3/2}$ durch eine lineare bzw. eine quadratische Polynomfunktion im Punkt $x_{0}=0$. Wie groß ist der Fehler an der Stelle $x=0{,}3$

? (Hinweis: Den Approximationsfehler stelle man durch das Restglied in Lagrangescher Form dar und schatze diesen Fehler (durch geeignete Wahl der unbekannten Zwischenstelle) nach oben ab.)

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Da eine quadratische Polynomfunktion konstruiert werden soll benötigen wir die ersten zwei Ableitungen der ursprünglichen Funktion.
${\begin{aligned}f(x)=8(x+1)^{\frac {3}{2}}\\f'(x)=12(x+1)^{\frac {1}{2}}\\f''(x)=6(x+1)^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}$

Daher ist die Taylorreihenentwicklung gegeben durch (Wie wieso warum was? => Herleitung in einem anderen Beispiel: TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_WS12/Beispiel_35 )
${\begin{aligned}T(x)=3x^{2}+12x+8\end{aligned}}$

Um den Fehler abschätzen zu können betrachten wir das Lagransche Restglied. (Dabei muss $\xi \in (x_{0},x)$ bzw. $\xi \in (x,x_{0})$)
${\begin{aligned}R_{2}(x)&={\frac {f'''(\xi )}{6}}x^{3}\\&={\frac {-1}{2{\sqrt {(\xi +1)^{3}}}}}x^{3}\end{aligned}}$

Da dieser Ausdruck sein Maximum bei $\xi =0,x=0{,}3$ annimmt kann man folgende Ungleichung aufstellen und sieht, dass der Fehler durch 0,0135 beschränkt ist. ${\begin{aligned}|R(x)|={\frac {1}{2{\sqrt {(\xi +1)^{3}}}}}x^{3}<{\frac {1}{2}}\cdot 0{,}3^{3}=0{,}0135\end{aligned}}$