TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 35

Man approximiere die Funktion $f(x)=8\ast (x+1{)}^{\frac{3}{2}}$ durch eine lineare bzw. eine quadratische Polynomfunktion im Punkt $x_{\text{0}}=0$

Lösungsvorschlag

Approximieren ist die Entwicklung der Taylorreihe, siehe Buch Seite 193.

Ich habe das so verstanden dass wir die Taylorreihe bis zum Quadratischen Polynom entwickeln sollen:

Dazu benötigen wir die ersten 2 Ableitungen von $f(x)$:

$f(x)=8(x+1{)}^{\frac{3}{2}}$

$f^{\prime }(x)=12(x+1{)}^{\frac{1}{2}}$

$f^{″}(x)=\frac{6}{(x+1{)}^{\frac{1}{2}}}$

Anschließend entwickelt man damit die Taylorreihe:

$f(x)=8(x_{\text{0}}+1{)}^{\frac{3}{2}}+12(x_{\text{0}}+1{)}^{\frac{1}{2}}(x-x_{\text{0}})+\frac{6}{2(x_{\text{0}}+1{)}^{\frac{1}{2}}}(x-x_{\text{0}}{)}^2$

Setzt man jetzt $x_{\text{0}}=0$ ein, erhät man:

$f(x)=8+12x+3x^2$

Und das müsste die Lösung sein.