TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 17

Seien $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ zwei konvergente Folgen mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b$ mit $b\ne 0$. Man zeige, dass dann gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$. Wieso spielt hierbei die zusätzliche Bedingung $b_n\ne 0$ für alle $n\in \mathbb{N}$, die eigentlich für die Existenz der Folge $(\frac{a_n}{b_n}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ notwendig ist, keine große Rolle?

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Entspricht Satz 4.14 (iv) aus Mathematik für Informatik.

Hilfreiches

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Links

• Die Quotientenregel – Grenzwertsätze: Grenzwert von Folgen berechnen – Serlo
• Englisch-sprachige PDF mit dem gefragten Beweis (Theorem C, ii auf Seite 3 und 4, aber es wird Zeug von davor verwendet)