TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 19

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen. Zeigen Sie, dass aus $a_{n}<b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ immer $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ folgt. Lässt sich hier $\leq$ durch $<$ ersetzen?

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Lösung von Ryus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösen mittels indirekten Beweises. Dazu gehen wir vom Gegenteil der Konklusion aus und zeigen, dass dieses im Widerspruch mit der Prämisse steht. Wir gehen also davon aus, dass $\lim _{n\to \infty }a_{n}>\lim _{n\to \infty }b_{n}$ . Ich nenne die Limites im Folgenden a und b.

Ich wähle nun eine Epsilon, welches so klein ist, dass sich die Epsilon-Umgebungen um a und b sich nicht überschneiden (z.B. Epsilon = (a-b)/2). Es ist klar, dass alle Elemente in der Epsilon-Umgebung von b nun kleiner sind, als die Elemente in der Epsilon-Umgebung von a.

Aus der Definition des Limes wissen wir, dass es für alle $n>N_{1}(\varepsilon )$ gilt: $a_{n}\in U_{\varepsilon }(a)$ . (= an liegt in der Epsilonumgebung von a)

Weiters wissen wir auch das gleiche für die andere Folge: $\forall n>N_{2}(\varepsilon ):b_{n}\in U_{\varepsilon }(b)$ .

Wählen wir nun ${\tilde {N}}=\max(N_{1},N_{2})+1$ . Dann gilt sicher $a_{\tilde {N}}>b_{\tilde {N}}$ , da beide in den jeweiligen Epsilon-Umgebungen liegen. Dies ist nun ein Widerspruch zu unser ursprünglichen Aussage ( $\forall n:a_{n}<b_{n}$ ), was zu zeigen war.

Zur Zusatzfrage:

Diese Antwort lässt sich einfach mit Nein beantworten, indem man ein Gegenbeispiel sucht. Mögliche Gegenbeispiele sind z.B. ${\frac {1}{n}}$ und $-{\frac {1}{n}}$ (Erstere ist immer größer als die letztere, beide haben jedoch den Limes 0). Oder auch ${\frac {1}{n}}$ und ${\frac {1}{n^{2}+1}}$ .