TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 19

Sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergente Folgen. Zeigen Sie, dass aus $a_n<b_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$ immer $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$ folgt. Lässt sich hier $\le$ durch $<$ ersetzen?

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösung von Ryus

Lösen mittels indirekten Beweises. Dazu gehen wir vom Gegenteil der Konklusion aus und zeigen, dass dieses im Widerspruch mit der Prämisse steht. Wir gehen also davon aus, dass $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n>\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$. Ich nenne die Limites im Folgenden a und b.

Ich wähle nun eine Epsilon, welches so klein ist, dass sich die Epsilon-Umgebungen um a und b sich nicht überschneiden (z.B. Epsilon = (a-b)/2). Es ist klar, dass alle Elemente in der Epsilon-Umgebung von b nun kleiner sind, als die Elemente in der Epsilon-Umgebung von a.

Aus der Definition des Limes wissen wir, dass es für alle $n>N_1(\epsilon )$ gilt: $a_n\in U_{\epsilon }(a)$. (= an liegt in der Epsilonumgebung von a)

Weiters wissen wir auch das gleiche für die andere Folge: $\mathrm{\forall }n>N_2(\epsilon ):b_n\in U_{\epsilon }(b)$.

Wählen wir nun $\tilde{N}=max(N_1,N_2)+1$. Dann gilt sicher $a_{\tilde{N}}>b_{\tilde{N}}$, da beide in den jeweiligen Epsilon-Umgebungen liegen. Dies ist nun ein Widerspruch zu unser ursprünglichen Aussage ($\mathrm{\forall }n:a_n<b_n$), was zu zeigen war.

Zur Zusatzfrage:

Diese Antwort lässt sich einfach mit Nein beantworten, indem man ein Gegenbeispiel sucht. Mögliche Gegenbeispiele sind z.B. $\frac{1}{n}$ und $-\frac{1}{n}$ (Erstere ist immer größer als die letztere, beide haben jedoch den Limes 0). Oder auch $\frac{1}{n}$ und $\frac{1}{n^2+1}$.

--Ryus (Diskussion) 20:55, 15. Okt. 2015 (CEST)

Lösungsansatz von Padraig

Siehe https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_1_2022S.pdf für meinen Lösungsansatz.

-- Saturday 26.03.2022 09:06 (CEST)