TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 206

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Man bestimme den Grenzwert

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
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oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Direktes Einsetzen in den Ausdruck liefert ''. Wir formen den Ausdruck also zunächst um.

Betrachten wir den Exponenten so erhalten wir zunächst einen unbestimmten Ausdruck. Hier fließt ein, dass gilt .

Wir wenden also die Regel von L'Hospital an und betrachten die Ableitungen des Nenners und Zählers, also

Wir wissen nun, dass der Exponent von gegen 0 konvergiert. Deswegen konvergiert der ganze Ausdruck gegen 1, was wiederum der Grenzwert von ist.