TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 20

Für alle $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge 1$ sei $a_n=1+\frac{1}{n^2}+\cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)(3-\frac{5}{n})$.

1. Gelten für die Umgebung $U=U_1(3)=(2,4)$ von 3 die folgenden beiden Aussagen?

   (a) $a_n\in U$ für unendlich viele $n$.

   (b) Es gibt ein $N=N(\epsilon )=N(1)$ mit $a_n\in U$ für alle $n\ge N$.

2. Geben Sie alle Häufungspunkte der Folge ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$ an.
3. Geben Sie eine Folge natürlicher Zahlen $n_1<n_2<\dots$ an, so dass $\left(a_{n_k}\right)k_{\in \mathbb{N}}$ eine monotone Teilfolge von ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$ ist.
4. Warum konvergieren alle monotonen Teilfolgen von ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$?

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Lösungsvorschlag

1. Frage

a) Man könnte meinen, dass unendlich viele Folgenglieder in (2, 4) liegen, weil 4 ein Häufungspunkt ist. Dies ist allerdings ein Fehlschluss, die unendlich vielen Folgenglieder in der $ϵ$-Umgebung vom Häufungspunkt 4 könnten schließlich auch >=4 sein.

Erfüllen unendlich viele Indexe $2<1+\frac{1}{n^2}+\cos (\frac{\pi n}{2})(3-\frac{5}{n})<4$?

$\cos \frac{\pi n}{2}\in \{-1,0,1\}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Für $\cos \in \{0,-1\}$ ist die obige Ungleichung nicht erfüllt. Was ist wenn $\cos =1$?

$\mathrm{\forall }nmod4=0$:

$\begin{array}{cc}2& <1+\frac{1}{n^2}+\cos (\frac{\pi n}{2})(3-\frac{5}{n})<4\\ 2& <1+\frac{1}{n^2}+3-\frac{5}{n}<4& & |-4\\ -2& <\frac{1}{n^2}-\frac{5}{n}<0& & |\cdot n\\ -2n& <\frac{1}{n}-5<0& & ✓\end{array}$

b) Nein, weil es Häufungspunkte gibt, die definitiv außerhalb der Umgebung liegen.

2. Frage

Die Brüche mit n im Nenner gehen gegen null. n bleibt nur noch im cos über, der sich alle 4 Indexe wiederholt, also einfach die $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ für $a_{4n}$, $a_{4n+1}$, $a_{4n+2}$ und $a_{4n+3}$ ausrechnen.

Rauskommen sollte -2, 1 und 4.

3. Frage

Für ungerade Indexe ist der $\cos$-Teil 0.

Dass die $1+\frac{1}{n^2}$ immer kleiner werden, kann (da $n$ nie negativ ist) so gezeigt werden:

$\begin{array}{cc}{a}_{n_k}& >a_{n_{k+1}}\\ 1+\frac{1}{n^2}& >1+\frac{1}{(n+1{)}^2}\\ \frac{n^2\cdot (n+1{)}^2}{n^2}& >\frac{n^2\cdot (n+1{)}^2}{(n+1{)}^2}\\ n^2+2n+1& >n^2\\ 2n+1& >0\end{array}$

4. Frage

Jede mögliche Folge ist zumindest durch -2 nach unten und 4 nach oben beschränkt. Satz 4.12 (Hauptsatz über monotone Folgen): Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.