Für alle
mit
sei
.
- Gelten für die Umgebung
von 3 die folgenden beiden Aussagen?
- (a)
für unendlich viele
.
- (b) Es gibt ein
mit
für alle
.
- Geben Sie alle Häufungspunkte der Folge
an.
- Geben Sie eine Folge natürlicher Zahlen
an, so dass
eine monotone Teilfolge von
ist.
- Warum konvergieren alle monotonen Teilfolgen von
?
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
a) Man könnte meinen, dass unendlich viele Folgenglieder in (2, 4) liegen, weil 4 ein Häufungspunkt ist. Dies ist allerdings ein Fehlschluss, die unendlich vielen Folgenglieder in der
-Umgebung vom Häufungspunkt 4 könnten schließlich auch >=4 sein.
Erfüllen unendlich viele Indexe
?
. Für
ist die obige Ungleichung nicht erfüllt. Was ist wenn
?
:
b) Nein, weil es Häufungspunkte gibt, die definitiv außerhalb der Umgebung liegen.
Die Brüche mit n im Nenner gehen gegen null. n bleibt nur noch im cos über, der sich alle 4 Indexe wiederholt, also einfach die
für
,
,
und
ausrechnen.
Rauskommen sollte -2, 1 und 4.
Für ungerade Indexe ist der
-Teil 0.
Dass die
immer kleiner werden, kann (da
nie negativ ist) so gezeigt werden:
Jede mögliche Folge ist zumindest durch -2 nach unten und 4 nach oben beschränkt. Satz 4.12 (Hauptsatz über monotone Folgen): Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.